18章 - 勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第1节 勾股定理
1.1 定理内容
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
在 中，，直角边 ，斜边 ：
1.2 勾股定理的证明
证明：
取４个与Ｒｔ△ＡＢＣ全等的直角三角形，把它们拼成如图 18-２（２）所示的边长为ａ＋ｂ的正方形 ＥＦＧＨ．
从图中可见，Ａ１Ｂ１ ＝ Ｂ１Ｃ１ ＝ Ｃ１Ｄ１ ＝ Ａ１Ｄ１ ＝ ｃ．
因为∠Ｂ１Ａ１Ｅ ＋ ∠Ａ１Ｂ１Ｅ ＝ ９０°，而 ∠Ａ１Ｂ１Ｅ ＝ ∠Ｄ１Ａ１Ｈ，
因此∠Ｂ１Ａ１Ｅ ＋ ∠Ｄ１Ａ１Ｈ ＝ ９０°，∠Ｄ１Ａ１Ｂ１ ＝ ９０°．
同 理：
∠Ａ１Ｂ１Ｃ１ ＝ ∠Ｂ１Ｃ１Ｄ１ ＝ ∠Ｃ１Ｄ１Ａ１ ＝ ９０°，所以四边形
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 是边长为 ｃ 的正方形．
1.3 公式变形（常用）
1.4 勾股数
性质：勾股数同时扩大相同正整数倍，仍然是勾股数。
1.5 勾股定理适用条件
只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不能直接用。
1.6 勾股定理应用
- 已知直角三角形任意两边长，求第三边；
- 求线段长度、高度、距离；
- 立体图形最短路径（展开长方体 / 圆柱侧面，转化为直角三角形）；
- 网格中求线段长。
第2节 勾股定理的逆定理
2.1 逆定理内容
2.1 判断步骤
📌 本章易错点总结
- 计算时分清斜边与直角边，不要默认c一定是斜边；
- 勾股定理必须在直角三角形中使用，无直角条件不能套公式；
- 勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数；
- 逆定理判断直角时，一定要拿最长边的平方去对比
📌 常见题型
- 直接利用勾股定理求边长；
- 折叠问题（折叠前后边长相等，构造直角三角形列方程）；
- 航海、方位角问题（构造直角三角形）；
- 立体表面最短距离（侧面展开）；
- 利用逆定理判定直角三角形，求面积。
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